Question

(本小题满分14分) 如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=kx+4k+1(k为实数),以点C为顶点的抛物线过点B．

⑴求抛物线的解析式；

⑵求证：不论k为何实数,直线l必过的定点并求出此定点M;

⑶若直线l过点A，动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时,求出点P的坐标及最小距离．

Answer

(1)、y=﹣x2+x﹣4；(2)、点M（﹣4，1）；证明过程见解析；(3)、P的坐标为（2，﹣）时，最小距离为.

【解析】试题分析：(1)、连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理求出OA的长，结合垂径定理求出OC的长，从而得到C点坐标，进而得到抛物线的解析式；(2)、把x=﹣4代入直线l的解析式得到y=﹣4k+4k+1=1，于是得到结论；(3)、过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．设M（m，m+4），P（m，﹣m2+m﹣4），得到PM=m+4﹣（﹣m2+m﹣4）=m2﹣m+8=（m﹣2）2+，根据△PQM的三个内角固定不变，得到PQ最小=，从而得到最小距离．

试题解析：(1)、如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，

在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA===4， ∵OC⊥AB，

∴由垂径定理得，OB=OA=4， OC=OE+CE=3+5=8， ∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），

∵抛物线的顶点为C， ∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣8）2，

将点B的坐标代入上解析的式，得64a=﹣4，故a=﹣， ∴y=﹣（x﹣8）2，

∴y=﹣x2+x﹣4为所求抛物线的解析式，

(2)、当x=﹣4时，y=﹣4k+4k+1=1， ∴不论k为何实数，直线l必过定点M（﹣4，1）；

(3)、如图2，∵直线l过点A， ∴4k+1=4， ∴k=， ∴直线l的解析式为y=x+4，

过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PN垂直于x轴，交直线l于点N．

设M（m，m+4），P（m，﹣m2+m﹣4），则

PM=m+4﹣（﹣m2+m﹣4）=m2﹣m+8=（m﹣2）2+，

当m=2时，PM取得最小值， 此时，P（2，﹣）， 对于△PQN， ∵PM⊥x轴，

∴∠QNP=∠DAO=∠AEO， 又∵∠PQN=90°， ∴△PQN的三个内角固定不变，

∴在动点P运动的过程中，△PQN的三边的比例关系不变，

∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，

PQ最小=PN最小•sin∠QNP=PN最小•sin∠AEO=×=，

∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，﹣）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为．

考点：圆的综合题．