Question

如图，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.

(1)当正方形GFED绕D顺时针旋转α(0^o<α<180^o),如图2，AG=CE和AG⊥CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

(2)不论α为何值,CE与AG交于H, 连接HD, 试证明：∠GHD=45^o;

⑶当α=45^o,如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.当AD=4，DG=时，求CH的长.

Answer

（1）AG=CE与AG⊥CE均成立，证明见解析；（2）证明见解析；（3）=.

【解析】试题分析：（1）寻找AG、CE所在的两个三角形全等的条件，证明全等即可；（2）由△AGD≌△CED，可知∠1=∠2，利用对顶角相等及互余关系证明垂直；（3）连接GE交AD于P，根据S△AGD+S△ACD=S四边形ACDG=S△ACG+S△CGD，再分别表示四个三角形的底和高，列方程求CH．

试题解析：（1）AG=CE与AG⊥CE均成立．

∵四边形ABCD、四边形DEFG是正方形，

∴GD=DE,AD=DC

∵∠GDE=∠ADC=90o.

∴∠GDA=90o-∠ADE=∠EDC

∴△AGD≌△CED

∴AG=CE

∴∠GAD＝∠ECD

又∵∠HMA＝∠DMC.

∴∠AHM=∠ADC＝.即AG⊥CE

⑵

过D作DR⊥HC于R,DQ⊥AG于Q,

在Rt△DRE和Rt△DQG中,

由△AGD≌△CED得∠DEC＝∠DGA

∴∠DER＝∠DGQ

又∵DE=DG

∴Rt△DRE≌Rt△DQG

∴DR=DQ

在Rt△DRH和Rt△DQH中,

∵DR=DQ,DH=DH, ∠DRH＝∠DQH=90o

∴Rt△DRH≌Rt△DQH

∴∠DHR＝∠DHQ

由（1）得AG⊥CE ∴∠DHQ=45o

⑶ 过作于,

由题意有,

∴，则∠1＝.

而∠1＝∠2，∴∠2＝＝∠1＝.

∴ ，即.

在Rt中，＝＝,

而∽,∴, 即,

∴.

再连接，显然有,

∴.

所求的长为.

解法二：研究四边形ACDG的面积

过作于,由题意有,

∴,.

而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1,

,

∴4×1+4×4=×CH+4 ×1.∴=.

【点睛】本题综合性较强，考查了三角形全等、相似的判定及性质，解直角三角形，勾股定理等相关知识．