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( 本小题满分12分)如图,已知以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点...

( 本小题满分12分)如图,已知以RtABC的AC边为直径作O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D, 点F为BC的中点,连接EF.

求证: EF是O的切线;

若AD的长,EAC=60°,求①⊙O的半径;求图中阴影部分的面积(保留π及根号).

 

(1)、证明过程见解析;(2)、①、2;②、7﹣π 【解析】试题分析:(1)、连接FO,根据三角形的中位线的性质得到OF∥AB,由于AC是⊙O的直径,得出CE⊥AE,根据平行线的性质得出OF⊥CE,于是得到OF所在直线垂直平分CE,推出FC=FE,OE=OC,再由∠ACB=90°,即可得到结论;(2)、①设⊙O的半径为r,解直角三角形得到CD=r,根据勾股定理列方程即可得到结论;②根据已知条件得到BC=4,∠B=30°,由于AC是⊙O的直径,得到CE⊥AB,于是得到S△EFC=S△BCE=6,求得S△CEO=×2×1=,于是得到结论. 试题解析:(1)、如图,连接FO, ∵F为BC的中点,AO=CO, ∴OF∥AB, ∵AC是⊙O的直径, ∴CE⊥AE, ∵OF∥AB, ∴OF⊥CE, ∴OF所在直线垂直平分CE, ∴FC=FE,OE=OC, ∴∠FEC=∠FCE,∠0EC=∠0CE, ∵∠ACB=90°, 即:∠0CE+∠FCE=90°, ∴∠0EC+∠FEC=90°, 即:∠FEO=90°, ∴FE为⊙O的切线; (2)、①设⊙O的半径为r, ∴AO=CO=EO=r, ∵∠EAC=60°,OA=OE, ∴∠EOA=60°, ∴∠COD=∠EOA=60°, ∵在Rt△OCD中,∠COD=60°,OC=r, ∴CD=r, ∵在Rt△ACD中,∠ACD=90°, ∴AC2+CD2=AD2, 即(2r)2+(r)2=(2)2, ∴r=2, ∴⊙O的半径是2; ②∵∠BAC=60°,AC=4, ∴BC=4,∠B=30°, ∵AC是⊙O的直径, ∴CE⊥AB, ∴CE=BC=2, ∴BE=6, ∴S△EFC=S△BCE=6, ∵S△CEO=×2×1=, ∴S阴影=S四边形EFCO﹣S扇形=6+﹣=7﹣π. 考点:圆的综合题.  
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