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( 本小题满分10分)如图,已知:在平行四边形ABCD中,点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上,AE=CG,AH=CF,且EG平分HEF.求证:

AEHCGF;

四边形EFGH是菱形.

 

(1)证明见试题解析;(2)证明见试题解析. 【解析】试题分析:(1)、由全等三角形的判定定理SAS证得结论;(2)、易证四边形EFGH是平行四边形,那么EF∥GH,那么∠HGE=∠FEG,而EG是角平分线,易得∠HEG=∠FEG,根据等量代换可得∠HEG=∠HGE,从而有HE=HG,易证四边形EFGH是菱形. 试题解析:(1)、如图,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠A=∠C, 在△AEH与△CGF中,, ∴△AEH≌△CGF(SAS); (2)、∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D. 又∵AE=CG,AH=CF, ∴BE=DG,BF=DH, 在△BEF与△DGH中,∴△BEF≌△DGH(SAS), ∴EF=GH. 又由(1)知,△AEH≌△CGF, ∴EH=GF, ∴四边形EFGH是平行四边形, ∴HG∥EF, ∴∠HGE=∠FEG, ∵EG平分∠HEF, ∴∠HEG=∠FEG, ∴∠HEG=∠HGE, ∴HE=HG,∴四边形EFGH是菱形. 考点:(1)、平行四边形的性质;(2)、全等三角形的判定与性质;(3)、菱形的判定.  
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考点分析:
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