Question

如图,在直角坐标系中,四边形OABC菱形,对角线OB、AC相交于D点,已知A点的坐标为（10，0），双曲线（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且

OB•AC=160(OB>AC)，有下列四个结论：①双曲线的解析式为（x＞0）；

②E点的坐标是（5，8）；③sin∠COA=；④AC+OB=．其中正确的结论有

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】试题分析：过B作BF⊥x轴于点F，由菱形的面积可求得BF，在Rt△ABF中，可求得AF，过D作DG⊥x轴于点G，由菱形的性质可求得D点坐标，则可求得双曲线解析式；根据BC∥OF可知E点纵坐标为BF的长，代入反比例函数的解析式即可得出E点坐标；过C作CH⊥x轴于点H，则HF=BC，可求得OH，可求得sin∠COA；在Rt△OBF中，由勾股定理可求得OB，结合条件可求得AC，则可求得AC+OB，可得出答案．

如图，过B作BF⊥x轴于点F，过D作DG⊥x轴于点G，过C作CH⊥x轴于点H，

∵A（10，0）， ∴OA=10， ∴S菱形ABCD=OA•BF=AC•OB=×160=80，即10BF=80， ∴BF=8，

在Rt△ABF中，AB=10，BF=8，由勾股定理可得AF=6， ∴OF=OA+AF=10+6=16， ∵四边形OABC为菱形，

∴D为OB中点， ∴DG=BF=×8=4，OG=OF=×16=8， ∴D（8，4）， ∵双曲线过点D．

∴4=，解得k=32， ∴双曲线解析式为y=． 故①正确； ∵BC∥OF，BF=8， ∴y==4，

∴E（4，8）． 故②错误； 在Rt△OCH中，OC=10，CH=8， ∴sin∠COA===，

故③正确； 在Rt△OBF中，OF=16，BF=8， ∴OB===8，

∵AC•OB=160， ∴AC===4， ∴AC+OB=4+8=12， 故④正确；

考点：反比例函数综合题．