Question

如下图1，在平面直角坐标系xOy中，A(a，0)、B(0，b)、C(－a，0)，且

(1) 求证：∠ABC＝90°

(2) 作∠ABO的平分线交x轴于一点D，求D点的坐标

(3) 如下图2所示，A、B两点在x轴、y轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足∠MON＝45°，下列结论：① BM＋AN＝MN；② BM²＋AN²＝MN²，其中有且只有一个结论成立．请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论

            

Answer

(1) 证明见解析；(2)D(，0)；(3) ②是对的（基本结论），证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由 可得a=2，b=2，即可得A、B、C的坐标，即可判定∠ABC＝90°；(2) 过D作DE⊥AB于E，由于BD是∠ABO的角平分线，根据角平分线的性质知DO=DE，设OD＝x，根据S△AOB的两种求法列出方程，由此求出OD的长，从而得到D点的坐标．（3）此题要通过构造全等三角形来求解；作OE⊥OM，且使得OE=OM，由于∠MON=45°，那么∠EON=∠MON=45°，即可证得△MON≌△EON，MN=NE；同理可通过证△MON≌△EON，来得到BM=AN，∠OAE=∠OBM=45°，因此在Rt△NAE中，根据勾股定理即可证得（2）的结论是正确的．

试题解析：

证明：∵

∴a=2，b=2，

∴A(2，0)、B(0，2)、C(－2，0)，

∴△AOB和△COD是等腰直角三角形，

∴∠ABC＝90°

(2) 过点D作DE⊥AB于E

∵BD平分∠ABO

∴OD＝DE

设OD＝x

∵S△AOB＝×2×2＝×2×x＋××x，解得

∴D(，0)

(3) ②是对的（基本结论）.

过点O作OE⊥OM，并使OE=OM，

在△MOB和△EOA中，

OB=OA，∠MOB=∠AOE，OM=OE，

∴△MOB≌△EOA，

∴BM=AE，∠B=∠OAE，

在△MON和△EON中，

OM=OE，∠MON=∠NOE=45°，ON=ON，

∴△MON≌△EON；

∴MN=NE，

又∵∠NAE=∠NAO+∠OAE=90°，

∴△NAE为直角三角形，

∴NA2+AE2=NE2

∴BM2+AN2=MN2，即结论②正确．

点睛：此题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识的综合应用；能够正确的构造全等三角形是解决此题的关键．