Question

如下图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDB，AC＝BC，DE＝BD，∠ACB＝∠EDB＝90°，P为AE的中点

(1) 连接PC、PD，则PC、PD的位置关系是____________，数量关系是___________，并证明你的结论

(2) 当E在线段AB上变化时，其它条件不变，作EF⊥BC于F，连接PF，试判断△PCF的形状

(3) 在点E运动过程中，△PCF是否可为等边三角形？若可以，试求△ACB与△EDB的两直角边之比

             

Answer

(1) PC⊥PD，PC＝PD，证明见解析；(2)△PCF为等腰三角形； (3)

【解析】试题分析：过点E作EM∥AC交CP的延长线于点M，易证△ACP≌△EMP，根据全等三角形的性质可得EM=AC，CP=PM,再证△BCD≌△EMD,可得CD=DM,∠EDM=∠CDB，即可证得∠CDM=90°，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得PC⊥PD，PC＝PD；（2）连接PD，易证△PEF≌△PED（SAS），即可得PD＝PF＝PC，所以△PCF为等腰三角形；（3）过点P作PQ⊥AC于Q，PN⊥BC于N,设等边三角形的边长为2x，易求AC=( )x，BD=( )x，即可得△ACB与△EDB的两直角边之比.

试题解析：

PC⊥PD，PC＝PD（中线倍长）

过点E作EM∥AC交CP的延长线于点M，可得△ACP≌△EMP，

∴EM=AC，CP=PM,

又因△BCD≌△EMD,

∴CD=DM,∠EDM=∠CDB，

∴∠CDM=90°，

∴PC⊥PD，PC＝PD；

(2) 连接PD

∵△PEF≌△PED（SAS）

∴PD＝PF＝PC

∴△PCF为等腰三角形

过点P作PQ⊥AC于Q ,PN⊥BC于N,

设等边三角形的边长为2x，易得AC=( )x，BD=( )x

则

点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形、等边三角形的知识，综合性较强，正确作出辅助线是解决问题的关键.