Question

如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）和B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点E，点D为顶点，连接BD、CD、BC．

（1）求证△BCD是直角三角形；

（2）点P为线段BD上一点，若∠PCO＋∠CDB＝180°，求点P的坐标；

（3）点M为抛物线上一点，作MN⊥CD，交直线CD于点N，若∠CMN＝∠BDE，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

Answer

（1）△BCD是直角三角形（2）P（， ）（3）M（， ）或M（， ）

【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式求出b、c的值，然后写出解析式，求得C、D两点的坐标，根据勾股定理及勾股定理的逆定理即可判定△BCD是直角三角形；（2）作PQ⊥OC于点Q，可得△PCQ∽△BDC，根据相似三角形的性质可得PQ＝3CQ ，设 设P（3m，－3－m）代入直线BD的解析式求得M的值，即可得点P的坐标；（3）分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时，分点N在射线CD上和点N在射线DC上两种情况讨论；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时，由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，所以点M不存在，由此求的M（， ）或M（， ）.

试题解析：

（1） ，C（0，－3），D（1，－4）

∴，

△BCD是直角三角形

（2）作PQ⊥OC于点Q，∴△PCQ∽△BDC，∴PQ＝3CQ

设P（3m，－3－m）代入直线BD： 得：

∴P（， ）

（3）M（， ）或M（， ）

点睛：本题是二次函数的综合题，涉及的知识点较多，难度较大.