Question

如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝60°，∠BAC＝∠ACD＝90°，点E为边AB上一点，AB＝3AE＝3cm，动点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，设运动时间为t秒．

（1）求证四边形ABCD是平行四边形；
    （2）当△BEP为等腰三角形时，求的值；

    （3）当t＝4时，把△ABP沿直线AP翻折，得到△AFP，求△AFP与□ABCD 重叠部分的面积．

Answer

（1）证明见解析（2）＝-237（3）

【解析】试题分析：（1）根据已知条件证得AB∥CD和 AD∥BC，即可判定四边形ABCD是平行四边形；（2）分点P在BC上时和当点P在AD上两种情况求解；（3）设PF与AD交于点M，则△MAP为等腰三角形 ， 作MN⊥AP于N，AH⊥BP点H，可得△MPN∽△APH，再根据相似三角形的性质求解即可.

试题解析：

（1）证明：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，

∴AB∥CD，

∵∠B＝∠D＝60°，∠BAC＝∠ACD＝90°，

∴∠BCA＝∠CAD＝30°，

∴AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）当点P在BC上时：△BEP为等边三角形，t＝2，

∴＝-58

当点P在AD上时：EB＝EP，作PH⊥AB，PA＝15－t

在Rt△EHP中，由勾股定理得：

∴＝-237

（3）设PF与AD交于点M，则△MAP为等腰三角形

作MN⊥AP于N，AH⊥BP点H，

∴△MPN∽△APH，∴

∴

点睛：本题是四边形与三角形的综合题，综合运用所学四边形与三角形的知识解题，难度较大.