Question

如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．

   

（1）求证：△ABE≌△CBD；

（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．

Answer

（1）证明见解析（2）75°

【解析】试题分析：（1）利用“边角边”证明△ABE≌△CBD即可；②先根据等腰直角三角形的锐角都是45°求出∠CAB，再求出∠BAE，然后根据全等三角形对应角相等求出∠BCD，再根据直角三角形两锐角互余其解即可；

试题解析：

（1）证明：∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，

∴∠ABE=∠CBD=90°，

在△ABE和△CBD中，

，

∴△ABE≌△CBD（SAS）；

（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，

∴∠CAB=45°，

∵∠CAE=30°，

∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，

∵△ABE≌△CBD，

∴∠BCD=∠BAE=15°，

∴∠BDC=90°-∠BCD=90°-15°=75°；

点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，是基础题，熟知全等三角形的判定方法和性质是解题的关键.