Question

如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5,OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B， BP的延长线交直线l于点C.

(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；

(2)若PC=，求⊙O的半径和线段PB的长；

(3)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围.

Answer

（1）AB=AC；理由见解析（2）⊙O的半径为3，线段PB的长为；（3）≤r＜5．

【解析】试题分析：（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；

（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，根据AB=AC推出52-r2=（2）2-（5-r）2，求出r，证△DPB∽△CPA，得出，代入求出即可；

（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范围，再根据相离得出r＜5，即可得出答案．

试题解析：（1）AB=AC，理由如下：

连接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，

∴∠OBA=∠OAC=90°，

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，

∵OP=OB，

∴∠OBP=∠OPB，

∵∠OPB=∠APC，

∴∠ACP=∠ABC，

∴AB=AC；

（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，

设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，

则AB2=OA2-OB2=52-r2，

AC2=PC2-PA2=（2）2-（5-r）2，

∴52-r2=（2）2-（5-r）2，

解得：r=3，

∴AB=AC=4，

∵PD是直径，

∴∠PBD=90°=∠PAC，

又∵∠DPB=∠CPA，

∴△DPB∽△CPA，

∴，

∴，

解得：PB=．

∴⊙O的半径为3，线段PB的长为；

（3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出OE=AC=AB=

又∵圆O与直线MN有交点，

∴OE=≤r，

，

25-r2≤4r2，

r2≥5，

∴r≥，

又∵圆O与直线相离，

∴r＜5，

即≤r＜5．

考点：1．切线的性质；2．等腰三角形的性质；3．相似三角形的判定与性质．