Question

如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，DE⊥AC，垂足为点F，连接BF，下列四个结论：①△CEF∽△ACD；②=2；③sin∠CAD=；④AB=BF．其中正确的结论有                          （写出所有正确结论的序号）．

Answer

①②④

【解析】

试题分析：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ADC=90°，AD=BC，BE⊥AC于点F，

∴∠DAC=∠ECF，∠ADC=∠CFE=90°，

∴△CEF∽△ADC，故①正确；

∵AD∥BC，

∴△CEF∽△ADF，

∴，

∵CE=BC=AD，

∴=2，

∴AF=2CE，故②正确，

设CF=a，AF=2a，由DF2=AF•CF=2a2，得DF=a，AD=a

∴sinCAD=，故③错误．

连接AE，

∵∠ABE+∠AFE=90°，

∴A、B、E、F四点共圆，

∴∠AFB=∠AEB，

∵AB=CD，BE=EC，∠CDE，

∴△ABE≌△CDE，

∴∠AEB=∠CED，

∵∠BAF+∠BEF=180°，∠BEF+∠CED=180°，

∴∠BAF=∠CED，

∴∠BAF=∠BFA，

∴BA=BF，故④正确．

故答案为①②④．

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.矩形的性质；3.解直角三角形．