Question

（2010•通化）如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．

（1）求证：AB•AF=CB•CD；

（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是线段DE上的动点．设DP=x cm，梯形BCDP的面积为y．

①求y关于x的函数关系式．

②y是否存在最大值？若有求出这个最大值，若不存在请说明理由．

Answer

(1)证明详见解析；(1)①y=3x+27；②存在，当x=时，y有最大值，此时y=．

【解析】

试题分析：（1）先根据AD=CD，DE⊥AC判断出DE垂直平分AC，再由线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质可得出∠DCF=∠DAF=∠B，在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B可知△DCF∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案；

（2）①先根据勾股定理求出AC的长，再由梯形的面积公式即可得出x、y之间的函数关系式；

②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例可求出AB、EF的长，进而可得出△AEF∽△DEA及DF的长，根据DE=DF+FE可求出DE的长，由①中的函数关系式即可得出结论．

试题解析：（1）∵AD=CD，DE⊥AC，

∴DE垂直平分AC，

∴AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF．

∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，

∴∠DCF=∠DAF=∠B．

在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，

∴△DCF∽△ABC．

∴，即，

∴AB•AF=CB•CD；

（2）【解析】
连接PB，

①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，

∴AC==12，

∴CF=AF=6．

∴y=（x+9）×6=3x+27；

②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC．

AE=BE=AB=，EF=．

由∠EAD=∠AFE=90°，∠AEF=∠DEA，得△AEF∽△DEA．

Rt△ADF中，AD=CD==10，AF=6，

∴DF=8．

∴DE=DF+FE=8+=．

∵y=3x+27（0≤x≤），函数值y随着x的增大而增大，

∴当x=时，y有最大值，此时y=．

考点：相似三角形的判定与性质；一次函数的性质；勾股定理．