Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左则，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；

（3）连结PO、PC，在同一平面内把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，请直接写出Q点坐标．

Answer

(1) y=﹣2x﹣3；(2) 点P(，)时，四边形ABPC的面积有最大值为；(3) 存在点P（，），使四边形POP′C为菱形；(4)（，﹣3）或（，﹣3）或（3，0）或（，）．

【解析】

试题分析：（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；

（2）有点B、C的坐标可得出直线BC的表达式，过P作PD∥y轴，交BC于D，设出点P的坐标，由此即可得出点D的坐标，根据三角形的面积以及三角形的面积公式即可得出关于a的二次函数表达式，根据二次函数的性质即可解决最值问题；

（3）取OC的中点E，过E作OC的垂线交抛物线于P，在PE的延长线上取EP′=PE，连接P′O、P′C，根据菱形的性质即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出点P和点P′的坐标，此题得解；

（4）设点Q的坐标为（m，m﹣3），结合点O、C的坐标即可得出OC、OQ、QC的长度，分OC=OQ、OC=QC以及OQ=QC三种情况考虑，由此即可得出关于m的方程，解方程求出m的值，将其代入点Q的坐标中即可得出结论．

试题解析：（1）将点B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=+bx+c中，

得：，解得：，

∴该二次函数的表达式为y=﹣2x﹣3；

（2）∵点B（3，0），点C（0，﹣3），

∴直线BC：y=x﹣3．

过P作PD∥y轴，交BC于D，如图1所示．

设P（a，﹣2a﹣3），则点D（a，a﹣3），

当y=0时，﹣2x﹣3=0，

解得：=﹣1，=3，

∴点A（﹣1，0）．

则=AB•||+•OB•DP=×4×3+×3×[a﹣3﹣（﹣2a﹣3）]=，

∵＜0，0＜a＜3，

∴当a=时，﹣2a﹣3==，

∴点P(，)时，四边形ABPC的面积有最大值，最大值为；

（3）取OC的中点E，过E作OC的垂线交抛物线于P，在PE的延长线上取EP′=PE，连接P′O、P′C，如图2所示．

∵OE=CE，EP=EP′，OC⊥PP′，

∴四边形POP′C为菱形．

当y=，则有=﹣2x﹣3，

解得：=（舍去），=，

∴存在点P（，），使四边形POP′C为菱形；

（4）设点Q的坐标为（m，m﹣3），

∵O（0，0），C（0，﹣3），

∴OC=3，PC==|m|，PO=．

△QOC为等腰三角形分三种情况：

①当OC=PC时，3=|m|，

解得：m=，

此时点Q的坐标为（，﹣3）或（，﹣3）；

②当OC=PO时，3=，

解得：m=3或m=0（舍去），

此时点Q的坐标为（3，0）；

③当PC=PO时，有|m|=，

解得：m=，

此时点Q的坐标为（，）．

综上可知：Q点坐标为（，﹣3）或（，﹣3）或（3，0）或（，）．

考点：二次函数综合题．