Question

如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，，BF与AD交于E．

（1）求证：AE=BE；

（2）若A，F把半圆三等分，BC=12，求AE的长．

Answer

(1)证明详见解析；(2) .

【解析】

试题分析：（1）连AC，要证明AE=BE，只要证∠ABE=∠BAE；BC为⊙O的直径，得到∠BAC=90°，而AD⊥BC，可得∠BAD=∠ACB，由，得∠ACB=∠ABF，这样就有∠ABE=∠BAE；

（2）由A，F把半圆三等分，得到∠ACB=∠CBF=30°，而BC=12，得到AB=6，再根据∠BAD=∠ACB，得到∠BAD=30°，所以BD=3，最后在Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，即可求出BE．

试题解析：（1）连AC，如图，

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BAC=90°，

又∵AD⊥BC，

∴∠BAD=∠ACB，

又∵，

∴∠ACB=∠ABF，

∴∠ABE=∠BAE，

∴AE=BE；

（2）∵A，F把半圆三等分，

∴∠ACB=∠CBF=∠ABF=30°，

∴∠BAD=30°，

在Rt△ABC中，BC=12，所以AB=BC=6，

在Rt△ABD中，AB=6，所以BD=AB=3，

Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，

∴DE==，

∴BE=，

所以AE=．

考点：圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．