Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若PD=1，求⊙O的直径．

Answer

(1)证明详见解析；(2)2.

【解析】

试题分析：（1）连接OA，根据圆周角定理首先求得∠AOC的度数，然后根据等腰三角形的性质求得∠OAP=90°，从而求解；

（2）根据直角三角形的性质，直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，即可求解．

试题解析：（1）连接OA，

∵∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°，

又∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°，

又∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切线．

（2）设该圆的半径为x．

在Rt△OAP中，∵∠P=30°，

∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，

∴1+x=2x，解得：x=1

∴OA=PD=1，

所以⊙O的直径为2．

考点：切线的判定．