Question

阅读下面材料：

如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y₁=ax+b与双曲线y₂=交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）两点．

观察图象可知：

①当x=﹣3或1时，y₁=y₂；

②当﹣3＜x＜0或x＞1时，y₁＞y₂，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞的解集．

有这样一个问题：求不等式x³+4x²﹣x﹣4＞0的解集．

某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x³+4x²﹣x﹣4＞0的解集进行了探究．

下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：

（1）将不等式按条件进行转化：

当x=0时，原不等式不成立；

当x＞0时，原不等式可以转化为x²+4x﹣1＞；

当x＜0时，原不等式可以转化为x²+4x﹣1＜；

（2）构造函数，画出图象

设y₃=x²+4x﹣1，y₄=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．

双曲线y₄=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y₃=x²+4x﹣1；（不用列表）

（3）确定两个函数图象公共点的横坐标

观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y₃=y₄的所有x的值为  ；

（4）借助图象，写出解集

结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x³+4x²﹣x﹣4＞0的解集为  ．

Answer

（2）图见试题解析；（3）±1和﹣4；（4）x＞1或﹣4＜x＜﹣1．

【解析】

试题分析：（2）首先确定二次函数的对称轴，然后确定两个点即可作出二次函数的图象；

（3）根据图象即可直接求解；

（4）根据已知不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0即当x＞0时，x2+4x﹣1＞，；当x＜0时，x2+4x﹣1＜，根据图象即可直接写出答案．

试题解析：（2）

；

（3）两个函数图象公共点的横坐标是±1和﹣4．

则满足y3=y4的所有x的值为±1和﹣4．

故答案是：±1和﹣4；

（4）不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0即当x＞0时，x2+4x﹣1＞，此时x的范围是：x＞1；

当x＜0时，x2+4x﹣1＜，则﹣4＜x＜﹣1．

故答案是：x＞1或﹣4＜x＜﹣1．

【考点】二次函数与不等式（组）．