Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C的坐标分别为（0，﹣）、（2，0），将矩形OABC绕点O顺时针旋转45°得到矩形OA′B′C′，边A′B′与y轴交于点D，经过坐标原点的抛物线y=ax²+bx同时经过点A′、C′．

（1）求抛物线所对应的函数表达式；

（2）写出点B′的坐标；

（3）点P是边OC′上一点，过点P作PQ⊥OC′，交抛物线位于y轴右侧部分于点Q，连接OQ、DQ，设△ODQ的面积为S，当直线PQ将矩形OA′B′C′的面积分为1：3的两部分时，求S的值；

（4）保持矩形OA′B′C′不动，将矩形OABC沿射线CO方向以每秒1个单位长度的速度平移，设平移时间为t秒（t＞0）．当矩形OABC与矩形OA′B′C′重叠部分图形为轴对称多边形时，直接写出t的取值范围．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+x；

（2）B′（1，﹣3）；

（3）S△ODQ′=×2×=．

（4）0≤t﹣2或t=或2﹣1≤t≤2时，矩形OABC与矩形OA′B′C′重叠部分图形为轴对称多边形．

【解析】

试题分析：（1）求出A、C两点坐标，把A、C两点坐标代入y=ax2+bx解方程组即可．

（2）如图1中，连接A′C′，OB′交于点E．求出点E坐标，根据中点坐标公式即可解决问题．

（3）分两种情形①当OP：PC′=1：3时，P（，﹣），求出直线PQ的解析式，利用方程组求出点Q坐标即可．②当OP′：P′C′=3：1时，P′（，﹣），方法类似．

（4）分别求出①如图3中，当AB经过点C′时，②如图4中，当O′C′=O′A=时，③如图5中，当点A在直线B′C′上时的时间t，观察图象即可解决问题．

试题解析：（1）如图1中，

由题意A′（﹣1，﹣1），C′（2，﹣2），把A′（﹣1，﹣1），C′（2，﹣2）代入y=ax2+bx得，

解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x．

（2）如图1中，连接A′C′，OB′交于点E．∵四边形OA′B′C′是矩形，

∴A′E=EC′，OE=EB′，∵A′（﹣1，﹣1），C′（2，﹣2），∴E（，﹣），∴B′（1，﹣3）．

（3）如图2中，∵直线PQ将矩形OA′B′C′的面积分为1：3的两部分，

∴OP：PC′=1：3或OP′：P′C′=3：1．

①当OP：PC′=1：3时，P（，﹣），直线PQ的解析式为y=x﹣1，

由，解得或，∵点Q在第四象限，

∴Q（，）．∵D（0，﹣2），∴S△ODQ=×2×=．

②当OP′：P′C′=3：1时，P′（，﹣），∴直线P′Q′的解析式为y=x﹣3，

由解得或，

∴Q′（，），∴S△ODQ′=×2×=．

（4）如图3中，当AB经过点C′时，t=2﹣2，

如图4中，当O′C′=O′A=时，AB与B′C′交于点M，连接O′M，则△O′MA≌△O′MC′，

此时t=OO′=2﹣=，

如图5中，当点A在直线B′C′时上，t=OO′=2﹣1．

综上所述，观察图形可知0≤t﹣2或t=或2﹣1≤t≤2时，矩形OABC与矩形OA′B′C′重叠部分图形为轴对称多边形．

考点：二次函数综合题，考查矩形的性质、三角形的面积、中点坐标公式、平移变换。