Question

阅读发现：（1）如图①，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC=3，BD=BE=1，连结CD，AE．易证：△BCD≌△BAE．（不需要证明）

提出问题：（2）在（1）的条件下，当BD∥AE时，延长CD交AE于点F，如图②，求AF的长．

解决问题：（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，连结CD，AE．当∠BAE=45°时，点E到AB的距离EF的长为2，求线段CD的长为  ．

Answer

（2）AF=2﹣1；

（3）．

【解析】

试题分析：（2）由△BCD≌△BAE，得到∠OAF=∠OCB，根据“8字型”证明∠AFO=∠CBO=90°，在RT△BDC中利用勾股定理求出CD，再证明BD=EF即可解决问题．

（3）根据两边成比例夹角相等两三角形相似，可以证明△ABE∽△CBD，得，再求出AE即可解决问题．

试题解析：（2）如图②中，AB与CF交于点O．

由（1）可知：△BCD≌△BAE，

∴∠OAF=∠OCB，CD=AE，∵∠AOF=∠COB，

∴∠AFO=∠CBO=90°，

∴CF⊥AE，∵BD∥AE，

∴BD⊥CF，

在RT△CDB中，∵∠CDB=90°，BC=3，BD=1，

∴CD=AE==2，

∵∠BDF=∠DFE=∠DBE=90°，

∴四边形EFDB是矩形，

∴EF=BD=1，

∴AF=AE﹣EF=2﹣1．

（3）在RT△ABC，RT△EBD中，∵∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，

∴AB=BC，BE=BD，

∴，

∵∠ABC=∠EBD=90°，

∴∠ABE=∠DBC，

∴△ABE∽△CBD，

∴，

在RT△AEF中，∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，EF=2，

∴AF=EF=2，AE=2，

∴，

∴CD=．

故答案为．

考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．