Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=mx²+4x+1．

（1）当抛物线C经过点A（﹣5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）若抛物线C：y=mx²+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），结合函数的图象，求m的取值范围；

（3）参考（2）小问思考问题的方法解决以下问题：

关于x的方程x﹣4=在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围．

Answer

（1）y=x2+4x+1，（﹣2，﹣3）（2）3＜m≤4（3）﹣1＜a＜3

【解析】

试题分析：（1）把点A（﹣5，6）代入抛物线y=mx2+4x+1求出m的值，即可得出抛物线的表达式与顶点坐标；

（2）根据抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间可知当x=﹣1时，y＞0，且△≥0，求出m的取值范围即可；

（3）方程x﹣4=在0＜x＜4范围内有两个解即抛物线y=x2﹣4x﹣a+3与x轴在0＜x＜4范围内有两个交点，从而可得当x=0时y＞0，x=4时y＞0，且△＞0，解之可得．

试题解析：（1）∵抛物线C：y=mx2+4x+1经过点A（﹣5，6），

∴6=25m﹣20+1，解得m=1，

∴抛物线的表达式为y=x2+4x+1=（x+2）2﹣3，

∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；

（2）∵抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间，

∴当x=﹣1时，y＞0，且△≥0，即，

解得：3＜m≤4；,

（3）方程x﹣4=的解即为方程x2﹣4x﹣a+3=0的解，

而方程x2﹣4x﹣a+3=0的解即抛物线y=x2﹣4x﹣a+3与x轴交点的横坐标，

∵方程在0＜x＜4范围内有两个解，

∴当x=0时y＞0，x=4时y＞0，且△＞0，

即，

解得：﹣1＜a＜3．

考点：1、抛物线与x轴的交点；2、待定系数法求二次函数解析式