Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点m在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（﹣2，0），AE=8，

（1）求证：AE=CD；

（2）求点C坐标和⊙M直径AB的长；

（3）求OG的长．

Answer

（1）证明见解析（2）（0，4），10（3）

【解析】

试题分析：（1）要证明AE=CD，即证明，由点C是的中点和AB⊥CD可知，，从而可得；

（2）由垂径定理可知：OC=CD=AE=4，所以点C的坐标为（0，4），连接AC和BC后，证明△CAO∽△BAC，可得CA2=AO•AB，从而可求出AB的长度；

（3）由可知，AG=CG，设AG=x，则OG=4﹣x，利用勾股定理可列出方程即可求出x的值．

试题解析：（1）∵点C是的中点，

∴，

∵AB⊥CD，

∴由垂径定理可知：，

∴，

∴，

∴AE=CD；

（2）连接AC、BC，

由（1）可知：CD=AE=8，

∴由垂径定理可知：OC=CD=4，

∴C的坐标为（0，4），

由勾股定理可求得：CA2=22+42=20，

∵AB是⊙M的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠CAB=∠CAB，

∴△CAO∽△BAC，

∴，

∴CA2=AO•AB，

∴AB==10；

（3）由（1）可知：，

∴∠ACD=∠CAE，

∴AG=CG，

设AG=x，

∴CG=x，OG=OC﹣CG=4﹣x，

∴由勾股定理可求得：AO2+OG2=AG2，

∴22+（4﹣x）2=x2，

∴x=，

∴OG=4﹣x=

考点：1、垂径定理，2、勾股定理，3、相似三角形的判定和性质