Question

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的一边OA在x轴上，点B的坐标为（4，3），双曲线（x＞0）交线段BC于点P（不与端点B、C重合），交线段AB于点Q

（1）若P为边BC的中点，求双曲线的函数表达式及点Q的坐标；

（2）求k的取值范围；

（3）连接PQ，AC，判断：PQ∥AC是否总成立？并说明理由．

Answer

（1）y=，（4，）（2）0＜k＜12（3）PQ∥AC总成立

【解析】

试题分析：（1）先求出点P坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据点Q的横坐标即可求出点Q的纵坐标．

（2）设点P（x，3），则x=，列出不等式即可解决问题．

（3）根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似证明△BPQ∽△BCA，即可解决问题．

试题解析：（1）∵四边形OABC是矩形，

∴BC∥OA，

∵点B坐标（4，3），

∴BC=4，AB=3，

∵PC=PB，

∴点P坐标（2，3），

∴反比例函数解析式y=，

∵点Q的横坐标为4，

∴点Q的坐标为（4，）．

（2）设点P坐标（x，3），则0＜x＜4，

把点P（x，3）代入y=得到，x=，

∴0＜＜4，

∴0＜k＜12．

（3）结论：PQ∥AC总成立．

理由：设P（m，3），Q（4，n），则3m=4n=k，

∴，

，

∴，

∵∠B=∠B，

∴△BPQ∽△BCA，

∴∠BPQ=∠BCA，

∴PQ∥AC．

考点：1、四边形，2、反比例函数的性质，3、矩形的性质