Question

如图，在以点O为原点的直角坐标系中，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴交于A，与y轴交于点B，求：

（1）△AOB面积=  ；

（2）△AOB内切圆半径=  ；

（3）点C在第二象限内且为直线AB上一点，OC=AB，反比例函数的图象经过点C，求k的值．

Answer

（1）1（2）（3）k=﹣

【解析】

试题分析：（1）利用一次函数的解析式分别求出A、B的坐标后，即可求出OB、OA的长度，从而可求出△AOB的面积；

（2）设△AOB内切圆的圆心为M，⊙M与OA、OB、AB分别切于E、F、G，连接OE、OF，利用切线长定理可知BF=BG，AE=AG，设半径为r，利用AG+BG=AB列出方程即可求出r的值；

（3）利用AB的长度求出OC的长度，过点C作CD⊥x轴于点D，设点C（a，﹣a+1），利用勾股定理即可求出a的值，从而求出点C的坐标，将点C代入y=即可求出k的值．

试题解析：（1）令x=0代入y=﹣a+1

∴y=1，

∴OB=1，

令y=0代入y=﹣x+1，

∴x=2，

∴OA=2，

S=OA•OB=1；

（2）设△AOB内切圆的圆心为M，

⊙M与OA、OB、AB分别切于E、F、G，

连接OE、OF，如图1，

∵∠OEM=∠MFO=∠FOE=90°，

∴四边形MFOE是矩形，

∵ME=MF，

∴矩形MFOE是正方形，

设⊙M的半径为r，

∴MF=ME=r，

由切线长定理可知：BF=BG=1﹣r，

AE=AG=2﹣r，

由勾股定理可求得：AB==，

∴AG+BG=AB，

2﹣r+1﹣r=，

∴r=；

（3）过点C作CD⊥x轴于点D，如图2，

∵OC=AB，

∴OC=，

∵点C在直线AB上，

∴设C（a，﹣ a+1）（a＜0），

∴OD=a，CD=﹣a+1，

由勾股定理可知：CD2+OD2=OC2，

∴a2+（﹣a+1）2=，

∴a=﹣或a=1（舍去）

∴C的坐标为（﹣，），

把C（﹣，）代入y=，

∴k=﹣．

考点：1、函数的性质，2、直角三角形内切圆的性质，3、待定系数法求解析式