Question

如图，矩形AOBC，A（0，3）、B（5，0），点E在OB上，∠AEO=45°，点P从点Q（﹣3，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t （t≥0）秒．

（1）求点E的坐标；

（2）当∠PAE=15°时，求t的值；

（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer

（1）点E的坐标为（3，0）；

（2）t=（3+）s或（3+3）s；

（3）t=0或4或4.6秒时，⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切．

【解析】

试题分析：（1）在Rt△AOE中求出OE，即可得出点E的坐标；

（2）如图1所示，当∠PAE=15°时，可得∠APO=60°，从而可求出PO=，求出QP，即可得出t的值；

（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，只有一种情况，也就是⊙P与AE边相切，且切点为点A，如图2所示，求出PE，得出QP，继而可得t的值．

试题解析：（1）在Rt△AOE中，OA=3，∠AEO=45°，

∴OE=AO=3，

∴点E的坐标为（3，0）；

（2）如图1所示：

∵∠PAE=15°，∠AEO=45°，

∴∠APO=∠PAE+∠AEO=60°，

∴OP=AOtan30°=，

∴QP=3+，

∴t=3+（秒）；

如图2，∵∠AEO=45°，∠PAE=15°，

∴∠APE=30°，

∵AO=3，

∴OP=3÷=3，

∴t=QP=OQ+OP=（3+3）s；

∴t=（3+）s或（3+3）s．

（3）∵PA是⊙P的半径，且⊙P与AE相切，

∴点A为切点，如图3所示：

∵AO=3，∠AEO=45°，

∴AE=3

∴PE=

∴QP=QE﹣PE=6﹣6=0，

∴当⊙P与四边形AEBC的边AE相切时，Q，P重合，t的值为0．

∵PA是⊙P的半径，且⊙P与AE相切，

∴点A为切点，如图4所示：

当点P与O重合时，⊙P与AC相切，

∴t=3秒；

当PA=PB时，⊙P与BC相切，

设OP=x，则PB=PA=5﹣x，

在Rt△OAP中，x2+32=（5﹣x）2，

解得：x=1.6，

∴t=3+1.6=4.6（秒）；

∴t=0或4或4.6秒时，⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切．

考点：圆的综合题．