Question

如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．

（1）求证：CF﹦BF；

（2）若CD﹦6，AC﹦8，则⊙O的半径为  ，CE的长是  ．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）要证明CF﹦BF，可以证明∠1=∠2；AB是⊙O的直径，则∠ACB﹦90°，又知CE⊥AB，则∠CEB﹦90°，则∠2﹦90°﹣∠ACE﹦∠A，∠1﹦∠A，则∠1=∠2；

（2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形相似可以求得CE的长．

试题解析：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB﹦90°

又∵CE⊥AB，

∴∠CEB﹦90°

∴∠2﹦90°﹣∠ACE﹦∠A，

∵C是的中点，

∴，

∴∠1﹦∠A（等弧所对的圆周角相等），

∴∠1﹦∠2，

∴CF﹦BF；

（2）【解析】
∵C是的中点，CD﹦6，

∴BC=6，

∵∠ACB﹦90°，

∴AB2=AC2+BC2，

又∵BC=CD，

∴AB2=64+36=100，

∴AB=10，

∴CE===，

故⊙O的半径为5，CE的长是．

考点：1、圆周角定理；2、勾股定理；3、圆心角、弧、弦的关系