Question

问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE.试探究∠D与∠A的数量关系.

(1)特例探究：

如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝；

如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝；这两个图中，与∠A度数的比是 ；

(2)猜想证明：

如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由.

Answer

(1)、30°；50°；1:2；(2)、成立；证明过程见解析

【解析】

试题分析：(1)、根据三角形内角和定理以及角平分线的性质分别求出∠D的度数，从而得出∠A和∠D的比值；(2)、根据平分线得出∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCE，根据外角的性质得出∠ACE=∠ABC＋∠A，∠DCE＝∠DBC＋∠D，从而得出答案.

试题解析：(1)、30；50；1：2；

(2)、成立.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCE，

∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠ABC＋∠A， 即2∠DCE =2∠DBC+∠A，

∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠DCE＝∠DBC＋∠D，∵2∠DBC+∠A＝2（∠DBC＋∠D），

∴∠D＝∠A，即∠D：∠A＝1:2

考点：(1)、三角形内角和定理；(2)、角平分线的性质.