Question

如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD丄AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF．

（1）求证：DE是半圆的切线：

（2）连接0D，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论．

Answer

（1）证明见解析（2）四边形ODFA是菱形

【解析】

试题分析：（1）连接OD，由等腰三角形的性质可得到∠OAD=∠ODA，由图形翻折变换的性质可得到∠CDA=∠EDA，再根据CD⊥AB即可得出结论；

（2）连接OF，可知OC=BC=OB=OD，由平行线的判定定理可得出OD∥AF，进而可得出△FAO是等边三角形，由等边三角形的性质可判断出四边形ODFA是平行四边形，由OA=OD即可得出结论．

试题解析：（1）如图，连接OD，则OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵△AED由△ACD对折得到，

∴∠CDA=∠EDA，

又∵CD⊥AB，

∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠EDA=90°，D点在半圆O上，

∴DE是半圆的切线；

（2）四边形ODFA是菱形，

如图，连接OF，

∵CD⊥OB，

∴△OCD是直角三角形，

∴OC=BC=OB=OD，

在Rt△OCD中，∠ODC=30°，

∴∠DOC=60°，

∵∠DOC=∠OAD+∠ODA，

∴∠OAD=∠ODA=∠FAD=30°，

∴OD∥AF，∠FAO=60°，

又∵OF=OA，

∴△FAO是等边三角形，

∴OA=AF，

∴OD=AF，

∴四边形ODFA是平行四边形，

∵OA=OD，

∴四边形ODFA是菱形．

考点：1、切线的判定；2、菱形的判定；3、圆周角定理；4、翻折变换（折叠问题）