Question

如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．

（1）求线段PQ的长；

（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．

Answer

（1）1（2）点P是AB的中点

【解析】

试题分析：（1）由题意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的边长为1，易证得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性质，求得线段PQ的长；

（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得PA=PB，则可求得答案．

试题解析：（1）根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°，

∴∠APD+∠QPE=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，

∴∠ADP=∠QPE，

∵EQ⊥AB，

∴∠A=∠Q=90°，

在△ADP和△QPE中，

，

∴△ADP≌△QPE（AAS），

∴PQ=AD=1；

（2）∵△PFD∽△BFP，

∴，

∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，

∴△DAP∽△PBF，

∴，

∴，

∴PA=PB，

∴PA=AB=

∴当PA=，即点P是AB的中点时，△PFD∽△BFP．

考点：1、相似三角形的判定与性质，2、正方形的性质，3、全等三角形的判定与性质