Question

如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E．且．

（1）求证：AB=AC；

（2）若AB=10，BC=12，求cos∠ABD的值．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）先连结AE，根据ASA判定△AEB≌△AEC，再根据全等三角形的性质得出AB=AC；

（2）先根据等腰三角形的性质以及勾股定理，求得AE和BE的长，再根据面积法求得BD的长，最后计算cos∠ABD的值．

试题解析：（1）方法一：连结AE，

∵AB是直径，

∴∠AEB=∠AEC=90°，

∵，

∴∠BAE=∠CAE，

又AE=AE，

∴△AEB≌△AEC（ASA），

∴AB=AC；

方法二：∵AB是直径，

∴∠ADB=∠CDB=90°，

∵，

∴DE=BE，

∴∠CBD=∠BDE，

∴∠C=∠CDE，

∵ABED是圆内接四边形，

∴∠CDE=∠CBA，

∴∠C=∠CBA，

∴AB=AC；

（2）由（1）知△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，

∴BE=CE=BC=×12=6，

∵在Rt△ABE中，AB=10，BE=6，

∴AE==8，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∴，

∴，

∴．

考点：1、直线与圆的位置关系；2、全等三角形的判定与性质；3、勾股定理；4、圆周角定理；5、解直角三角形