Question

如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，动点E从点A出发．以2cm/s的速度沿射线AD方向运动，以AE为底边，在AD的右侧作等腰直角角形AEF，当点F落在射线BC上时，点E停止运动，设△AEF与矩形ABCD重叠部分的面积为S，运动的时间为t（s）．

（1）当t为何值时，点F落在射线BC上；

（2）当线段CD将△AEF的面积二等分时，求t的值；

（3）求S与t的函数关系式；

（4）当S=17时，求t的值．

Answer

（1）8（2）6（3）S=（4）5

【解析】

试题分析：（1）由矩形的性质和等腰直角三角形的性质得出FH=8cm，再由运动得出FH=t，即可；

（2）由等腰直角三角形的性质得出斜边上的高也是中线，根据三角形的中线把三角形AEF面积平分，判断出点F在CD上，即可；

（3）分三种情况先利用矩形和运动的特点显示出三角形高，底边和梯形的上下底，高，再利用三角形和梯形的面积公式求解；

（4）先判断出面积是17时，运动时间在3＜t≤6内，再直接代入函数关系式中，即可．

试题解析：（1）如图1，

过点F作FH⊥AD于H，

在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，∠BAD=90°，

∵点F落在射线BC上，

∴FH=8cm，

∴t=8s，

（2）如图2，

∵△AEF是等腰直角三角形，

∴AE边上的高线也是该边的中线，

∴点F在边CD上时，CD将△AEF的面积二等分，

∵FD是直角三角形的斜边的直线，

∴由运动知，FD=AD=6=t，

∴t=6s，

（3）当0＜t≤3时，如图3，

过点F作FH⊥AD，

由运动知，AE=2t，

∴FH=AE=t，

∴S=AE×FH=t2，

当3＜t≤6时，如图4，

过点F作FH⊥AD，

由运动知，AE=2t，

∴DG=DE=2t﹣6，FH=t，DH=6﹣t，

∴S=S△AEF+S梯形DHFG=×AE×FH+（DG+FH）×DH=××2t×t+（2t﹣6+t）×（6﹣t）=﹣t2+12t﹣18，

当6＜t≤8时，如图5，

过点F作FH⊥AD，

∴DG=AD=6

∴S=S△ADG=AD×GD=18；

∴S=，

（4）由函数关系式知，S=17的运动时间在3＜t≤6中，

将S=17代入S=﹣t2+12t﹣18中，

∴﹣t2+12t﹣18=17，

∴t=7（舍）或t=5

∴当S=17时，t的值为5s．

考点：1、矩形的性质，2、等腰直角三角形的性质，3、梯形，4、三角形的面积公式