Question

如图，正方形ABCD中，P为AB中点，BE⊥DP交DP延长线于E，连结AE，AF⊥AE交DP于F，连结BF，CF．下列结论：①EF=AF；②AB=FB；③CF∥BE；④EF=CF．其中正确的结论有（  ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

Answer

D

【解析】

试题分析：根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．

在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°， ∴∠DAF+∠BAF=90°， ∵AF⊥AE，

∴∠BAE+∠BAF=90°， ∴∠BAE=∠DAF， ∵BE⊥DP， ∴∠ABE+∠BPE=90°，

又∵∠ADF+∠APD=90°，∠BPE=∠APD， ∴∠ABE=∠ADF， 在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴AE=AF， ∴△AEF是等腰直角三角形，

∴EF=AF；故①正确； ∴AE=AF，BE=DF， ∴∠AEF=∠AFE=45°，取EF的中点M，连接AM，

∴AM⊥EF，AM=EM=FM， ∴BE∥AM， ∵AP=BP， ∴AM=BE=DF， ∴∠EMB=∠EBM=45°，

∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB， 在△ABM和△FBM中， ∴△ABM≌△FBM（SAS），

∴AB=BF，故②正确； ∴∠BAM=∠BFM， ∵∠BEF=90°，AM⊥EF，

∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°， ∴∠APF=∠EBF， ∵AB∥CD， ∴∠APD=∠FDC，

∴∠EBF=∠FDC， 在△BEF和△DFC中， ∴△BEF≌△DFC（SAS），

∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°， 故④正确； ∴CF⊥DEP， ∵BE⊥DP， ∴CF∥BE；故③正确．

考点：四边形综合题．