Question

如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC于E．

（1）求证：AB=AC；

（2）求证：DE为⊙O的切线；

（3）若AB=13，sinB=，求CE的长．

Answer

(1)、证明过程见解析；(2)、证明过程见解析；(3)、

【解析】

试题分析：(1)、连接AD，利用直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的三线合一可以得到AB=AC；(2)、连接OD，利用平行线的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，从而判断DE是圆的切线；(3)、根据AB=13，sinB=，可求得AD和BD，再由∠B=∠C，即可得出DE，根据勾股定理得出CE．

试题解析：(1)、连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°

∴AD⊥BC，又D是BC的中点， ∴AB=AC；

(2)、连接OD，∵O、D分别是AB、BC的中点， ∴OD∥AC， ∴∠ODE=∠DEC=90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线；

(3)、【解析】
∵AB=13，sinB=， ∴=， ∴AD=12， ∴由勾股定理得BD=5，

∴CD=5， ∵∠B=∠C， ∴， ∴DE=， ∴根据勾股定理得CE=．

考点：(1)、切线的判定；(2)、圆周角定理；(3)、相似三角形的判定与性质．