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如图1,在边长为4的菱形ABCD中,AC为其对角线,∠ABC=60°点M、N是分...

如图1,在边长为4的菱形ABCD中,AC为其对角线,∠ABC=60°点M、N是分别是边BC、边CD上的动点,且MB=NC.连接AM、AN、MN.MN交AC于点P.

(1)△AMN是什么特殊的三角形?说明理由.并求其面积最小值;

(2)求点P到直线CD距离的最大值;

(3)如图2,已知MB=NC=1,点E、F分别是边AM、边AN上的动点,连接EF、PF,EF+PF是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.

 

 

(1)等边三角形,理由参见解析,3;(2);(3). 【解析】 试题分析:(1)△AMN是等边三角形,AM⊥BC时面积最小.只要证明△AMB≌△ANC,推出AM=AN,∠BAM=∠CAN即可解决问题.(2)如图2中,当AM⊥BC时,点P到CD距离最大.作PE⊥CD于E.(3)如图3中,作点P关于AN的对称点为K,过点K做AM的垂线,交AN为F,交AM为E,此时,EF+PF最短,连接AK、作AG⊥MN于G,MH⊥AB于H.首先求出AM、AG的长,再证明△AGP≌△KEA,推出KE=AG即可. 试题解析:(1)如图1中, ∵ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,在△AMB和△ANC中,AB=AC,∠B=∠ACN=60°,BM=NC,∴△AMB≌△ANC,∴AM=AN,∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°,∴∠MAN=60°,∴△AMN为等边三角形,当AM⊥BC时,△AMN的边长最小,面积最小,此时AM=MN=AN=2,S△AMN=•(2)2=3;(2)如图2中, 当AM⊥BC时,点P到CD距离最大.作PE⊥CD于E.理由:由(1)可知△AMN是等边三角形,当AM⊥BC时,△AMN的边长最小,此时PA长最小,PC的长最大,点P到直线CD的距离最大,∵BM=MC=2,∠CMP=30°,∠MPC=90°,∴PC=MC=1,在Rt△PCE中,∵∠CPE=30°,PC=1,∴EC=PC=,∴PE==.∴点P到直线CD距离的最大值为;(3)如图3中,作点P关于AN的对称点为K,过点K做AM的垂线,交AN为F,交AM为E,此时,EF+PF最短,由于对称,PF=KF,EF为垂线段(垂线段最短). 连接AK、作AG⊥MN于G,MH⊥AB于H.在Rt△BMH中,∵BM=1,∠BMH=30°,∴BH=,HM=,∴AH=,AM==,∵△AMN是等边三角形,∴AG=.∵∠APG=∠PCM+∠PMC=60°+∠PMC,∵∠PMC+∠PCM+∠CPM=180°,∠NAP+∠ANP+∠APN=180°,∠ANP=∠PCM=60°,∠APN=∠CPM,∴∠CMP=∠NAP=∠NAK,∵∠EAK=∠EAN+∠NAK=60°+∠NAK,∴∠APG=∠EAK,∵∠AGP=∠AEK=90°,AP=AK,∴△AGP≌△KEA,∴KE=AG=.∴EF+PF的最小值为. 考点:四边形综合题.  
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如图,直线l:y=x+m与x轴交于A点,且经过点B(﹣,2).已知抛物线C:y=ax2+bx+9与x轴只有一个公共点,恰为A点.

(1)求m的值及∠BAO的度数;

(2)求抛物线C的函数表达式;

(3)将抛物线C沿x轴左右平移,记平移后的抛物线为C1,其顶点为P.

平移后,将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB,点D能否落在抛物线C1上?

如能,求出此时顶点P的坐标;如不能,说明理由.

 

 

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如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C作⊙O的切线CM.

(1)求证:∠ACM=∠ABC;

(2)延长BC到D,使CD=BC,连接AD与CM交于点E,若⊙O的半径为2,ED=1,求AC的长.

 

 

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九(3)班“2016年新年联欢会”中,有一个摸奖游戏,规则如下:有4张纸牌,背面都是喜羊羊头像,正面有2张笑脸、2张哭脸.现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上,然后让同学去翻纸牌.

(1)现小芳有一次翻牌机会,若正面是笑脸的就获奖,正面是哭脸的不获奖.她从中随机翻开一张纸牌,则小芳获奖的概率是 

(2)如果小芳、小明都有翻两张牌的机会.小芳先翻一张,放回洗匀后再翻一张;小明同时翻开两张纸牌.他们各自翻开的两张纸牌中只要出现笑脸就获奖.他们获奖的机会相等吗?分析说明理由.

 

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随着信息技术的快速发展,“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域,网上在线学习交流已不再是梦,现有某教学网站策划了A,B两种上网学习的月收费方式:

收费方式

月使用费/元

包时上网时间/h

超时费/(元/min)

A

7

25

0.01

B

m

n

0.01

设每月上网学习时间为x小时,方案A,B的收费金额分别为yA,yB

(1)如图是yB与x之间函数关系的图象,请根据图象填空:m=  ;n= 

(2)写出yA与x之间的函数关系式.

(3)选择哪种方式上网学习合算,为什么?

 

 

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学习“利用三角函数测高”后,某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB,其测量步骤如下:

(1)在中心广场测点C处安置测倾器,测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°;

(2)在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C、D与B在同一直线上,且C、D之间的距离可以直接测得),测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°;

(3)测得测倾器的高度CF=DG=1.5米,并测得CD之间的距离为288米;

已知红军亭高度为12米,请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB.(取1.732,结果保留整数)

 

 

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