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如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点B在x轴的正半轴上,已知∠OBA=9...

如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点B在x轴的正半轴上,已知∠OBA=90°,OB=3,sin∠AOB=.反比例函数y=(x>0)的图象经过点A.

(1)求反比例函数的解析式;

(2)若点C(m,2)是反比例函数y=(x>0)图象上的点,则在x轴上是否存在点P,使得PA+PC最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

 

 

(1)、y=;(2)、P(5,0) 【解析】 试题分析:(1)、首先求得点A的坐标,然后利用待定系数法求反比例函数的解析式即可;(2)、首先求得点A关于x轴的对称点的坐标,然后求得直线A′C的解析式后求得其与x轴的交点即可求得点P的坐标. 试题解析:(1)∵∠OBA=90°,sin∠AOB=,可设AB=4a,OA=5a, ∴OB═=3a,又OB=3, ∴a=1, ∴AB=4, ∴点A的坐标为(3,4), ∵点A在其图象上,∴4=,∴k=12;∴反比例函数的解析式为y=; (2)、在x轴上存在点P,使得PA+PC最小.理由如下: ∵点C(m,2)是反比例函数y=(x>0)图象上的点,k=12, ∴2=, ∴m=6,即点C的坐标为(6,2); 作点A(3,4)关于x轴的对称点A′(3,﹣4),如图,连结A′C. 设直线A'C的解析式为:y=kx+b, ∵A′(3,﹣4)与(6,2)在其图象上, ∴,解得, ∴直线A'C的解析式为:y=2x﹣10, 令y=0,解得x=5, ∴P(5,0)可使PA+PC最小. 考点:(1)、待定系数法求反比例函数解析式;(2)、轴对称-最短路线问题.  
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考点分析:
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