Question

已知二次函数（k＞0）．

（1）当k=时，求这个二次函数的顶点坐标；

（2）求证：关于x的一元次方程有两个不相等的实数根；

（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP交BC于点Q，求证：．

Answer

（1）（1，）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）直接将k的值代入函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标；

（2）利用根的判别式得出△=1，进而得出答案；

（3）根据题意首先表示出Q点坐标，以及表示出OA，AB的长，再利用两点之间距离求出AQ的长，进而求出答案．

试题解析：（1）将k=代入二次函数可求得，=，故抛物线的顶点坐标为：（1，）；

（2）∵一元次方程，∴△===1＞0，∴关于x的一元次方程有两个不相等的实数根；

（3）由题意可得：点P的坐标为（0，1），则，（x﹣k﹣1）（x﹣k）=0，故A（k，0），B（k+1，0），当x=0，则y=，故C（0，），则AB=k+1﹣k=1，OA=k，可得：=，=，当=，解得：x=，则代入原式可得：y=，则点Q坐标为（，）．运用距离公式得：==，则，=1，故===，则．

考点：二次函数综合题．