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课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题: (1)如图1,△ABC中,若AB=5,...

课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:

(1)如图1,ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:

延长AD到E,使得DE=AD,再连接BE(或将ACD绕点D逆时针旋转180°得到EBD),把AB、AC、2AD集中在ABE中,利用三角形的三边关系可得2AE8,则1AD4.

感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

(2)问题解决:

受到(1)的启发,请你证明下面命题:如图2,在ABC中,D是BC边上的中点,DEDF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.

①求证:BE+CFEF;②若A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系,并加以证明;

(3)问题拓展:

如图3,在四边形ABDC中,B+∠C=180°,DB=DC,BDC=120°,以D为顶点作EDF为60°角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点,连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.

 

见解析 【解析】 试题分析:(2)①首先延长FD到G,使得DG=DF,进而得出CF=BG,DF=DG,以及EF=EG,再利用三角形三边关系得出答案; ②由①知∠FCD=∠DBG,EF=EG,再利用勾股定理得出答案; (3)利用全等三角形的判定与性质得出△DEG≌△DEF(SAS),进而得出EF=EG=BE+BG,即EF=BE+CF,进而得出答案. (2)证明:①如答题图1,延长FD到G,使得DG=DF,连接BG、EG. 则CF=BG,DF=DG, ∵DE⊥DF,∴EF=EG. 在△BEG中,BE+BG>EG,即BE+CF>EF. 【解析】 ②若∠A=90°,则∠EBC+∠FCB=90°, 由①知∠FCD=∠DBG,EF=EG, ∴∠EBC+∠DBG=90°,即∠EBG=90°, ∴在Rt△EBG中,BE2+BG2=EG2, ∴BE2+CF2=EF2; (3)【解析】 如答题图2,将△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG. ∵∠C+∠ABD=180°,∠4=∠C, ∴∠4+∠ABD=180°, ∴点E、B、G在同一直线上. ∵∠3=∠1,∠BDC=120°,∠EDF=60°, ∴∠1+∠2=60°,故∠2+∠3=60°,即∠EDG=60° ∴∠EDF=∠EDG=60°, 在△DEG和△DEF中, ∴△DEG≌△DEF(SAS), ∴EF=EG=BE+BG,即EF=BE+CF.
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考点分析:
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