Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC外角平分线，BE⊥AE，连接DE．

（1）求证：DA⊥AE；

（2）求证：四边形DCAE是平行四边形．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）根据三线合一定理证明AD平分∠BAC，然后根据AE是∠BAC外角平分线，即可证得∠DAE=90°，即可证得DA⊥AE；

（2）根据平行四边形的定义即可证得．

证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC于点D，

∴∠CAD=∠BAD，即∠BAD=∠BAC，

又∵AE是∠BAC外角平分线，即∠BAE=∠BAF，

∴∠DAE=∠BAD+∠BAE=（∠BAC+∠BAF）=90°，

∴DA⊥AE；

（2）∵AD⊥BC，DA⊥AE，

∴BD∥AE，即CD∥AE．

∵BE⊥AE，DA⊥AE，

∴BE∥AD，

∴四边形BDAE是平行四边形．

∴BD=AE，

又∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

又∵CD∥AE，

∴四边形DCAE是平行四边形．