Question

已知：如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．

（1）求证：△DOE≌△BOF；

（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）∠EOD=90°，四边形BFDE为菱形．

【解析】

试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）；

（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．

（1）证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，

∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，

在△EOD和△FOB中

，

∴△DOE≌△BOF（ASA）；

（2）【解析】
当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，

理由：∵△DOE≌△BOF，

∴OE=OF，

又∵OB=OD

∴四边形EBFD是平行四边形，

∵∠EOD=90°，

∴EF⊥BD，

∴四边形BFDE为菱形．