Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD，CE分别是AB边上的中线和高．

（1）求证：AE=ED；

（2）若AC=2，求△CDE的周长．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CD=AD，根据直角三角形的两个锐角互余，得∠A=60°，从而判定△ACD是等边三角形，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可证明；

（2）结合（1）中的结论，求得CD=2，DE=1，只需根据勾股定理求得CE的长即可．

（1）证明：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，

∴CD=AD=DB．

∵∠B=30°，

∴∠A=60°．

∴△ACD是等边三角形．

∵CE是斜边AB上的高，

∴AE=ED．

（2）【解析】
由（1）得AC=CD=AD=2ED，

又AC=2，

∴CD=2，ED=1．

∴．

∴△CDE的周长=．