Question

若关于x的一元二次方程x²﹣2（2﹣k）x+k²+12=0有实数根α、β．

（1）求实数k的取值范围；

（2）设，求t的最小值．

Answer

（1）k≤﹣2；

（2）t的最小值为﹣4．

【解析】

试题分析：（1）由于一元二次方程存在两实根，令△≥0求得k的取值范围；

（2）将α+β换为k的表达式，根据k的取值范围得出t的取值范围，求得最小值．

【解析】
（1）∵一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12=0有实数根a，β，

∴△≥0，

即4（2﹣k）2﹣4（k2+12）≥0，

4（4﹣4k+k2）﹣4k2﹣48≥0，

16﹣16k﹣48≥0，即16k≤﹣32，

解得k≤﹣2；

（2）由根与系数的关系得：a+β=﹣[﹣2（2﹣k）]=4﹣2k，

∴，

∵k≤﹣2，

∴﹣2≤＜0，

∴，

即t的最小值为﹣4．