Question

如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，﹣4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；

（3）当（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．

Answer

（1）y=-x2+x-4，顶点坐标（，）；（2）S=-2x2+14x-12；（3）不能.

【解析】

试题分析：（1）根据对称轴，以及A、B坐标可求得解析式，进而可求顶点坐标；（2）根据平行四边形的面积公式，可得函数解析式；（3）根据函数值，可得E点坐标，根据菱形的判定，可得答案．

试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A、B点的坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为y=- x2+x-4=﹣（x﹣）2+，∴解析式为y=-x2+x-4，顶点坐标（，）；（2）E点坐标为（x，-x2+x-4），S=2×OA•yE=3（-x2+x-4），即S=﹣2x2+14x﹣12；

（3）平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF不能为菱形，理由如下：当平行四边形OEAF的面积为24时，即﹣2x2+14x﹣12=24，x2﹣7x+18=0，∴△=b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×18=﹣23＜0，方程无解，

E点不存在，平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF不能为菱形．

考点：1二次函数综合题；2菱形.