Question

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）BC=2，BF=.

【解析】

试题分析：（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段BC和BF的长．

试题解析：（1）证明：连接AE，在⊙O中，∵∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，∴∠1= ∠CAB．

∵∠CBF= ∠CAB，∴∠1=∠CBF，∴∠CBF+∠2=90°，即∠ABF=90°，∴直线BF是⊙O的切线．（2）【解析】
过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，在Rt△AEB中，∠AEB=90°，∴BE=AB•sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=，∴sin∠2===，cos∠2=== ，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴，∴BF=.

考点：1切线的判定与性质；2勾股定理；3圆周角定理；4解直角三角形.