Question

如图，直线y=2x+3与y轴交于A点，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点D（a，1）是反比例函数y=（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB+PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=；（2）P（，0）.

【解析】

试题分析： （1）把x=1代入y=2x+3中，可求得B点坐标为（1，5），再带到反比例函数解析式中可求得反比例函数解析式；（2）作D关于x轴的对称点D′，连接BD′，与x轴交点即为点P.

试题解析：（1）∵BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0），∴把x=1代入y=2x+3中，y=2+3=5，∴点B的坐标为（1，5），又∵点B（1，5）在反比例函数y=上，∴k=1×5=5，∴反比例函数的解析式为：y=；

（2）将点D（a，1）代入y=，得：a=5，∴点D坐标为（5，1），则点D（5，1）关于x轴的对称点为D′（5，﹣1），设过B（1，5）、D′（5，﹣1）的直线解析式为：y=kx+b，可得，解得，

∴直线BD′的解析式为：y=﹣x+，直线BD′与x轴的交点即为所求点P，当y=0时，得：﹣x+ =0，解得：x=，故点P的坐标为（，0）．

考点：1反比例函数；2一次函数；3轴对称.