Question

已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．

（1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF；

（2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论．

Answer

（1）详见解析；（2）结论仍然成立，理由详见解析.

【解析】

试题分析：（1）①根据已知条件，利用SAS即可判定△ABC≌△ADE；②易证BC∥FH和CH=HE，根据平行线分线段成比例定理可证得BF=EF．（2）过E作MN⊥AH，交BA、CD延长线于M、N，，利用ASA证明△MAE≌△DAC，得AD=AM，根据等量代换得AB=AM，根据②同理得出结论．

试题解析：证明：（1）①如图1，

∵AB⊥AD，AE⊥AC，

∴∠BAD=90°，∠CAE=90°，

∴∠1=∠2，

在△ABC和△ADE中，

∵

∴△ABC≌△ADE（SAS）；

②如图1，

∵△ABC≌△ADE，

∴∠AEC=∠3，

在Rt△ACE中，∠ACE+∠AEC=90°，

∴∠BCE=90°，

∵AH⊥CD，AE=AC，

∴CH=HE，

∵∠AHE=∠BCE=90°，

∴BC∥FH，

∴=1，

∴BF=EF；

（2）结论仍然成立，理由是：

如图2所示，过E作MN⊥AH，交BA、CD延长线于M、N，

∵∠CAE=90°，∠BAD=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠1+∠CAD=90°，

∴∠2=∠CAD，

∵MN∥AH，

∴∠3=∠HAE，

∵∠ACH+∠CAH=90°，∠CAH+∠HAE=90°，

∴∠ACH=∠HAE，

∴∠3=∠ACH，

在△MAE和△DAC中，

∵

∴△MAE≌△DAC（ASA），

∴AM=AD，

∵AB=AD，

∴AB=AM，

∵AF∥ME，

∴=1，

∴BF=EF．

考点：全等三角形的判定与性质．