Question

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）若BC=，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．

Answer

（1）详见解析；（2）R=3，BE=．

【解析】

试题分析：（1）连接OB，根据已知条件易证∠EBD=∠CAB，继而得到∠BAD=∠EBD，根据直径所对的圆周角为直角即可证得结论；（2）连接CD，交OB于点F，易证OF为三角形ADC的中位线，根据三角形的中位线定理求得OF，再用平行线分线段成比例定理求出半径R，最后用切割线定理即可．

试题解析：（1）如图，

连接OB，∵BD=BC，

∴∠CAB=∠BAD，

∵∠EBD=∠CAB，

∴∠BAD=∠EBD，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，OA=BO，

∴∠BAD=∠ABO，

∴∠EBD=∠ABO，

∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，

∵点B在⊙O上，

∴BE是⊙O的切线，

（2）如图2，

设圆的半径为R，连接CD，

∵AD为⊙O的直径，

∴∠ACCD=90°，

∵BC=BD，

∴OB⊥CD，

∴OB∥AC，

∵OA=OD，

∴OF=AC=，

∵四边形ACBD是圆内接四边形，

∴∠BDE=∠ACB，

∵∠DBE=∠ACB，

∴△DBE∽△CAB，

∴，

即，

∴DE=，

∵∠OBE=∠OFD=90°，

∴DF∥BE，

∴，

∴，

∵R＞0，

∴R=3，

∵BE是⊙O的切线，

∴BE=．

考点：圆的综合题.