Question

如图，抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点. 设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.

(1)求点A，点B，点C的坐标；

(2)求直线BD的解析式；

(3)当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；

(4)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）；（3）m=2；（4）Q的坐标为（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．

【解析】试题分析：（1）根据函数解析式列方程即可得到结论；

（2）由点C与点D关于x轴对称，得到D（0，﹣2），解方程即可得到结论；

（3）如图1所示：根据平行四边形的性质得到QM=CD，设点Q的坐标为（m， ），则M（m， ），列方程即可得到结论；

（4）设点Q的坐标为（m， ），分两种情况：①当∠QBD=90°时，根据勾股定理列方程求得m=3，m=4（不合题意，舍去），②当∠QDB=90°时，根据勾股定理列方程求得m=8，m=﹣1，于是得到结论．

试题解析：（1）∵令x=0得；y=2，∴C（0，2）．

∵令y=0得： ，解得： ， ，∴A（﹣1，0），B（4，0）．

（2）∵点C与点D关于x轴对称，∴D（0，﹣2）．

设直线BD的解析式为y=kx﹣2．

∵将（4，0）代入得：4k﹣2=0，∴k=，∴直线BD的解析式为．

（3）如图1所示：

∵QM∥DC，∴当QM=CD时，四边形CQMD是平行四边形．

设点Q的坐标为（m， ），则M（m， ），∴，解得：m=2，m=0（不合题意，舍去），∴当m=2时，四边形CQMD是平行四边形；

（4）存在，设点Q的坐标为（m， ），∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形，∴分两种情况讨论：

①当∠QBD=90°时，由勾股定理得： ，即，解得：m=3，m=4（不合题意，舍去），∴Q（3，2）；

②当∠QDB=90°时，由勾股定理得：，即，解得：m=8，m=﹣1，∴Q（8，﹣18），（﹣1，0）；

综上所述：点Q的坐标为（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．

考点：二次函数综合题；分类讨论；动点型；存在型；压轴题．