Question

东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为：

，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如下表：

（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？

（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？

（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．

Answer

（1）y=120-2t，60；（2）在第10天的销售利润最大，最大利润为1250元；（3）7≤n＜9．

【解析】

试题分析：（1）根据日销售量y（kg）与时间t（天）的关系表，设y=kt+b，将表中对应数值代入即可求出k，b，从而求出一次函数关系式，再将t=30代入所求的一次函数关系式中，即可求出第30天的日销售量．

（2）日销售利润=日销售量×（销售单价－成本）；分1≤t≤24和25≤t≤48两种情况，按照题目中所给出的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式分别得出销售利润的关系式，再运用二次函数的图像及性质即可得出结果．

（3）根据题意列出日销售利润W=（t+30-20-n）（120-2t）= －t2+2（n+5）t+1200-n，此二次函数的对称轴为y=2n+10，要使W随t的增大而增大，2n+10≥24，即可得出n的取值范围．

试题解析：（1）依题意，设y=kt+b，将（10，100），（20，80）代入y=kt+b，得：，解得： ，∴日销售量y（kg）与时间t（天）的关系 y=120-2t．当t=30时，y=120-60=60．

答：在第30天的日销售量为60千克．

（2）设日销售利润为W元，则W=（p-20）y．

当1≤t≤24时，W=（t+30-20）（120-t）= =

当t=10时，W最大=1250．

当25≤t≤48时，W=（－t+48-20）（120-2t）= =

由二次函数的图像及性质知：当t=25时，W最大=1085．

∵1250＞1085，∴在第10天的销售利润最大，最大利润为1250元．

（3）依题意，得：W=（t+30-20-n）（120-2t）= ，其对称轴为y=2n+10，要使W随t的增大而增大，由二次函数的图像及性质知：2n+10≥24，解得n≥7．

又∵n＜0，∴7≤n＜9．

考点：一次函数的应用；二次函数的最值；最值问题；分段函数；二次函数的应用．