Question

如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，链接PC。

（1）求CD的长；

（2）求证：PC是⊙O的切线；

（3）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）。问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由。

Answer

（1）2；（2）证明过程见解析；（3）定值为8．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，根据折叠图形的性质得出OM=1，根据勾股定理的性质得出CD的长度；（2）首先根据勾股定理求出PC的长度，然后根据勾股定理的逆定理得出切线；（3）连接GA、AF、GB，根据题意得出△AGE与△FGA相似，从而得出GE·GF=，然后根据等腰直角三角形的性质得出答案．

试题解析：（1）如答图1，连接OC ∵沿CD翻折后，A与O重合 ∴OM=OA=1，CD⊥OA

∵OC=2 ∴CD=2CM=2=2

（2）∵PA=OA=2,AM=OM=1,CM= 又∵CMP=∠OMC=90° ∴PC==2

∵OC=2,PO=4 ∴ ∴∠PCO=90° ∴PC与☉O相切

（3）GE·GF为定值，理由如下： 如答图2，连接GA、AF、GB ∵G为中点 ∴

∴∠BAG=∠AFG ∵∠AGE=∠FGA ∴△AGE∽△FGA ∴

∴GE·GF= ∵AB为直径，AB=4 ∴∠BAG=∠ABG=45° ∴AG=2 ∴GE·GF==8

考点：（1）勾股定理；（2）圆的切线的判定；（3）三角形的相似