Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB 边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0），连接MN．

（1）若BM=BN，求t的值；

（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；

（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．

Answer

（1）10-15；（2）t=或t=；（3）t=2.5；最小值为

【解析】试题分析：（1）根据Rt△ABC的性质得出AB和BC的长度，然后根据BM=BN得出t的值；（2）分△MBN∽△ABC和△NBM∽△ABC两种情况分别求出t的值；（3）根据四边形的面积等于△ABC的面积减去△BMN的面积得出函数解析式，从而求出最值.

试题解析：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，∴，

由题意知，，， 由BM=BN得

解得：

（2）①当△MBN∽△ABC时， ∴，即，解得：

②当△NBM∽△ABC时， ∴， 即，解得：．

∴当或时，△MBN与△ABC相似．

（3）过M作MD⊥BC于点D，可得：设四边形ACNM的面积为，

∴

．

∴根据二次函数的性质可知，当时，的值最小． 此时，

考点：（1）三角形的面积；（2）三角形相似的性质；（3）二次函数的图象及其性质