Question

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明过程见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得出∠CAD=∠D=30°，根据OA=OC得出∠2=∠CAD =30°，从而得出∠OCD=∠ACD —∠ACO=90°；（2）首先求出扇形BOC的面积，根据Rt△OCD的三角函数得出CD的长度，从而求出Rt△OCD的面积，然后求出阴影部分的面积.

试题解析：（1）连接OC．∵AC=CD，∠ACD=120°， ∴∠CAD=∠D=30°．

∵OA=OC， ∴∠2=∠CAD =30°．（或 ∠ACO=∠CAD=30° ）

∴∠OCD=∠ACD —∠ACO=90°，即OC⊥CD．

∴CD是⊙O的切线．

（2）由（1）知∠2=∠CAD =30°．（或 ∠ACO=∠CAD=30° ）， ∴∠1=60°．（或∠COD =60°）

∴． 在Rt△OCD中，∵， ∴．

∴ ∴图中阴影部分的面积为

考点：（1）圆的切线的判定；（2）扇形的面积公式；（3）三角函数